الكميات القياسية والكميات المتجهة أو الاتجاهية

الكميات القياسية والكميات المتجهة أو الاتجاهية
Vector Quantities and scalar Quantities


المحاضرة الثالثة
الأستاذ الدكتور حاجم شاني


تتصف الكميات الفيزيائية مثل الزمن والكتلة بأنها تتعين كلياً بعدد واحد فقط مع اشارة موجبة او سالبة احياناً فعندما نقول ان كتلة الجسم تساوي (70) كغم فأن هذا العدد وحدة كاف لتعريف الكتلة ولذا يطلق على هذا النوع من الكميات اسم كميات عددية
( Scalars ) ومن ناحية اخرى فأن هناك كميات فيزيائية لايمكن تحديدها بشكل كامل بعدد واحد فقط ، فعندما يسير جسم متحرك من نقطة ما مسافة معينة فأن معرفة مقدار المسافة المقطوعة وحدة غير كافٍ لمعرفة المكان الذي وصل اليه الجسم بل لابد من معرفة اتجاه الحركة ايضاً سواء كان ذلك الاتجاه شرقاً ام غرباً شمالاً ام جنوباً وبالتالي فأن الازاحة وهي كمية فيزيائية تتحدد بمعرفة قيمتها واتجاهها معاً ويطلق على هذا النوع من الكميات اسم الكميات المتجهة او متجهات (vectors ) .
فعند دراسة القوة ككمية ميكانيكية يجب ان نذكر بجانب قيمتها اتجاهها ايضاً حيث يمكن تمثيل القوة بخط يعبر عن مقدارها وفي نهاية الخط يحدد الاتجاه من خلال سهم يشير الى ذلك

يبين قوة مقدارها 500 نت وبالاتجاه الافقي
اضافة الى ما تقدم فأن الكميات القياسية يكفي لتصريفها ذكر مقدارها فقط أي يمكن التعبير عن درجة الحرارة الجو بمقدار معين ، وكذلك بالنسبة للكميات الاخرى التي تعرف بمقدارها كالمسافة والزمن والطول اما الكميات المتجهة فلا يكفي لتعريفها ذكر مقدارها فقط بل ينبغي ذكر اتجاهها وكما تم توضيحه سابقاً .



المسافة والإزاحة ( Distance and displace ment )

-----------------------------------

ان المفهوم العام للحركة التي يؤديها جسم الانسان هو انتقاله من مكان الى أخر . فقطع العداء لمسافة معينة على سطح الأرض اثناء الركض يتم ذلك من خلال الحركة ولتوضيح ما هي العلاقة بين الحركة وقطع الجسم لمسافة معينة وما يرتبط ذلك بمفهوم الإزاحة ، يمكن تمثيل ذلك بحركة جسم ما عندما يتحرك من مكانه لقطع مسافة معينة وعليه يكون الجسم قد أزيح عن موصفة بمقدار المسافة التي قطعها أي للمسافة والازاحة المفهوم نفسه .
فأذا تحرك عداء من خط البداية وقطع مسافة (100 م ) بأتجاه خط النهاية فان إزاحته تكون بمقدار المسافة التي قطعها العداء ، وعندما يتحرك عداء لقطع مسافة معينة في زمن معين أي يقطع دورة كاملة ( مسافة 400 م ) بزمن قدره (50 ثانية) وهنا يكون العداء قد قطع مسافة 400 م ولكن ازاحته هنا تكون (صفر) أي بمعنى عدم ازاحته عن موضعه الاصلي بمقدار معين وبأتجاه معين في نهاية الحركة . فعندما يتحرك شخص شمالاً من النقطة (A ) بمقدار (3كم ) الى النقطة ( B ) ثم شرقاً بمقدار (4كم ) الى النقطة ( C ) يكون قد تحرك مسافة مقدارها ( 7كم ) ولكن الازاحة بالنسبة لنقطة الاصل تكون (5كم ) من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس

ومن خلال ما تقدم يتضح بأن المسافة هي طول الفراغ بين نقطتين محدودتين . اما الازاحة فتعني هي محصلة المسافة التي يتحركها الجسم من نقطة البداية الى نقطة النهاية ، او هي التغيير النهائي للوضع او المكان مقداراً واتجاهاً ، وتعني ازاحة جسم عن نقطة معينة بأنها (( المسار المستقيم الذي يقطعه الجسم في حركته من نقطة الى اخرى بأتجاه ثابت )) .
هل مصطلح السرعة (Speed ) والسرعة المتجهة velocity شيء واحد ؟
ان السرعة والسرعة المتجهة مصطلحات لوصف حركة الجسم ، ومع ذلك هناك اختلاف بينهم ، فالسرعة ( speed ) توضح مقدار المسافة التي قطعها الجسم في فترة زمنية محددة ، أي هي معدل قطع المسافة بالنسبة للزمن وتوصف برقم واحد ، أي مقدار السرعة فقط كما تعني السرعة ( speed )هي معدل الحركة ( كمية قياسية فقط).
اما السرعة المتجهة (velocity) فانها تتضمن الازاحة التي قطعها الجسم في فترة زمنية محددة ، أي معدل تغير الازاحة بالنسبة للزمن وكما تعني ايضاًمعدل الحركة في اتجاه معين (كمية متجهة مقداراً واتجاهاً).
اضافة الى ما تقدم قد يعني الانطلاق ( speed ) والسرعة المتجهة عند الكثيرين نفس الشيء الا ان علم الفيزياء يميز بينهما ويعتبرهما مصطلحين مختلفين فنطلاق الجسم كما اوضحنا يعني المسافة التي يقطعها خلال زمن معين دون النظر الى اتجاه الحركة


مثال:-ازدادت سرعة عداد من صفر الى 20قدم/ثا خلال 3ثواني اوجد
أ- متوسط السرعة ب- المسافة؟

الحل:- م س = = 15قدم/ثا
المسافة = س × ن
= 15 × 3 = 30قدم

اما السرعة المتجهة (velocity ) = = V=

فنجد ان حرف ( d ) قد تكرر في المصطلحين ولكنه يختلف في حالة السرعة يعني ( Distance ) وفي حالة السرعة المتجهة يعني (Displace ment ) وكذلك حرف ( t ) فيعني في حالة الاولى حالة السرعة ( الزمن المأخوذ في قطع هذه المسافة ) اما في الحالة الثانية حالة السرعة المتجهة ( فيعني الزمن المأخوذ في قطع هذه الازاحة ) .
ويمكن التعبير عن السرعة المتجهة
وتتكون وحدة السرعة من وحدة مركبة من وحدة المسافة ةةحدة الزمن فنقول عداء يركض بسرعة مقدارها 6 م/ثا او سيارة تسير بسرعة 80 كم/ساعة فالسرعة اذن تساوي المسافة المقطوعة في وحدة الزمن

اما وحدات السرعة المتجهة فهي وحدة مركبة من وحدة الازاحة ووحدة الزمن فنقول ان سيارة تقطع ازاحة مقدارها (100 كم شرقاً) خلال ساعة او عداد يقطع ازاحة مقدارها (100 متر جنوباً ) خلال فترة زمنية مقدارها (10ثانية ) .
وبما ان السرعة كمية متجهة لذا تم ذكر اتجاهها فضلاً عن مقدارها ، ان استعمال كلمة السرعة التي تتداول في المجال الرياضي هي ترجمة لكلمة (speed ) ولكن من وجهة النظر الميكانيكية البحتة يعبر هذا المصطلح عن كمية السرعة وليس السرعة المقصودة ميكانيكياً أي السرعة المتجهة ( Velocity ) التي تمثل كمية السرعة التي يتحرك بها الجسم اضافة الى اتجاهها ، ونظر للعلاقة بين السرعة والمسافة فلا بد من توضيح هذه العلاقة الرياضية بين السرعة ككمية لحركة الجسم والسرعة المتجهة وبين المسافة والازاحة فعندما يتحرك جسم من (A) بأتجاه نقطة (B) وكانت المسافة بين النقطتين (30م ) وكان الزمن المستغرق ( 5 ) ثانية فيمكن حساب سرعة الجسم من خلال العلاقة الاتية :

السرعة = = = 6 م/ثا

وفي هذه الحالة تعطي كل من المسافة والازاحة المفهوم نفسه وعليه يمكن الاكتفاء بمصطلح السرعة ( speed ) للتدليل على السرعة المتجهة (velocity ) وعندما يتحرك الجسم في حالة اخرى من نقطة (A) بأتجاه (B) التي تبعد مسافة (30م) وبعد بلوغه نقطة (B) يعود ثانية الى(A) ولنفرض ان الزمن المستغرق لقطع المسافة من (A) الى (B) ثم الى (A) ثانية هو (10ثانية )

اما فيما يخص سرعة الجسم المتجهة تكون كالاتي :-


اما فيما يخص متوسط السرعة فيمكن استخراجه من خلال القانون الموضح في ادناه فعندما يتحرك جسم لقطع مسافة معينة وكانت سرعته منتظمة ، فأذا كانت سرعة ذلك الجسم 8م/ثا عند النقطة ( A ) وعند بلوغه نقطة ( B ) بلغت سرعته 12 م/ثا فيعني هذه الحالة نحاول استخراج معدل السرعة وفق القانون الاتي


م/ثا السرعة المتوسطة

وفي ضوء القانون السابق فأذا كانت سرعة العداد الابتدائية تساوي صفرا او اذا تحرك من وضع الثبات وكانت سرعته منتظمة فأن معدل سرعته هو نصف السرعة النهائية


اضافة الى ما تقدم اصبح من الواجب التفريق بين مطلح السرعة والسرعة المتجهة من وجهة النظر الميكانيكية .
ولكون السرعة من الكميات الاتجاهية ا يجب ذكر مقدارها واتجاهها يمكن تمثيل هذه الكمية الميكانيكية بسهم يمثل طول المستقيم فيه مقدار السرعة ، بينما يمثل تاشير السهم اتجاهها
يتضح مما سبق بأن خاصية السرعة من الناحية الميكانيكة خاصية الاتجاه فعند دراستنا لفعل تأثير السرعة يتم التعامل مع هذه الكمية على اساس بياني بمعنى اذا سار جسم بتأثير سرعتين في نفس الزمن فأن الفعل التأثيري لهذه السرع يعتمد على اتجاهها ، فأذا كانت السرعتان في اتجاه واحد فأن محصلتهما هي عبارة عن حجمها هندسياً وكما هو موضح في الشكل (6) هي كالاتي:-

س2 = 30م/ثا س1 = 50 م / ثا
الشكل رقم (6)
س1 + س2
= 50 + 30 = 80م/ثا
ويكون الاتجاه باتجاه السرعتين نفسه
اما اذا كانت السرعتان في اتجاهات مختلفة وعلى خط عمل واحد فأن محصلتهما النهائية هي الفرق بينهما س1 = 80 م / ثا

فتكون السرعة المحصلة = س1 – س2
= 80 – 30 = 50 م/ثا وباتجاه السرعة الكبرى
ولمزيد من الايضاح نستعرض الامثلة الاتية:-
- اذا بلغت سرعة جسم 20م/ثا واثرت ريح بسرعة 2م/ثا في اتجاه الجسم نفسه فما مقدار السرعة النهائية؟
ان محصلة السرعة تكون كالاتي:
المحصلة = س1 + س2
اذن محصلة السرعة = 20 + 2 = 22م/ثا
- اذا بلغت سرعة جسم 30 م/ثا واثرت عليه ريح بسرعة 5م/ثا في اتجاه معاكس لاتجاه الجسم نفسه فما مقدار السرعة النهائية؟
محصلة السرعة = 30م – 5م/ثا = 25م/ثا

ويمكن تطبيق هذا المبدأ على الحركات الرياضية وخاصة فعاليات الرمي حيث يمكن جمع سرعات اليد الرامية في قذف الثقل مع سرعة الثقل في الاتجاه نفسه أي سرعة كرة القدم عندما تضرب من قبل اللاعب حيث يمكن جمع سرعة الكرة مع سرعة الرجل الضاربة بالاتجاه نفسه حيث تكون السرعة النهائية في كلتا الحالتين هي المجموع الجبري للسرعتين ويكون الاتجاه باتجاه السرعتين نفسه.
امافي فعالية رمي الرمح ففي المرحلة الاولى تكون سرعة الرمح هي سرعة الرامي نفسها ولكن اثناء الخطوات الاخيرة من الرمي التي يقوم فيها الرامي بأرجاع الرمح الى الخلف من خلال امتداد الذراع الرامية بأتجاه معاكس لخط سير الحركة فيمكن ايجاد السرعة النهائية للرمح من خلال ايجاد المحصلة النهائية والتي يمكن حسابها من خلال ايجاد الفرق بين سرعة الجسم وسرعة الرمح على الرغم من ان الحركة النهائية للرمح باتجاه قطاع الرمي وتكون السرعة المحصلة في اتجاه السرعة الكبيرة للرمح .

مفهوم الكمية الاتجاهية Vector Quantitic


لكل قطعة مستقيم اتجاهان متعاكسان فاذا اعبرنا قطعة المستقيم (AB ) بأتجاه الشرق مثلاً موجباً فأن قطعة المستقيم ( BA ) بأتجاه الغرب يكون سالباً فاذا تساوت قيمتاهما العدديتان فان

BA - = AB

تمثيل المتجه بيانياً :-
يرمز عادة للمتجه بحرف غامق A او بحرف عادي وفوقه سهم صغير A ويمثل بيانياً بقطعة مستقيمة يتناسب طولها مع قيمة المتجه ، ولغرض الايضاح يمكن ان نرمز لمتجه السرعة مثلاً بالرمز ( س ) ويرمز للقيمة العددية لذلك المتجه بالرمز ( س) او س فقط .
ويمثل المتجه بسهم ليكون :-
1- طول السهم لمقياس معين يمثل القيمة العددية للمتجه .
2- اتجاه السهم يمثل اتجاه المتجه .
3- نقطة بداية السهم تمثل نقطة تاثير المتجه .

فأذا اردنا تمثيل قوة مقدارها (400 ) نيوتن بالاتجاه (37 ْ ) شمال الشرق تؤثر في نقطة (A ) وكان مقياس الرسم (1 سم ) لكل (100 نيوتن ) فان السهم الذي طوله (4سم) وبالاتجاه (37 ْ ) يمثل القوة المطلوبة ويجب التميز بين الاتجاهين (37 ْ ) شمال الشرق وبين (37 ْ ) شرق شمال

اضافة الى ما تقدم فان أي كمية ذات مقدار واتجاه كالقوة مثلاً تسمى كمية متجهه اة اتجاهية ويمكن تمثيلها تخطيطياً بقطعة مستقيم يسمى متجهاً حيث ان من مواصفات القوة هو مقدارها ونقطة تطبيقها او تاثيرها فضلاً عن اتجاهها ، فأتجاه القوة هو الاتجاه المعين على المستقيم الذي يمر من نقطة تاثير هذه القوة والذي تسعى القوة الى تحريك الجسم الذي تؤثر فيه ويسمى هذا المستقيم ( حامل القوة ) ويمكن توضيحه بالشكل الاتي :-
قطعة مستقيم (BC )

فطول المستقيم يمثل مقدار القوة بمقياس ما والاتجاه الافقي الممثل بالسهم يمثل اتجاه القوة وتسمى النقطة (B ( بداية المتجه والنقطة ( C ) نهاية المستقيم او المتجه وان أي نقطة من هاتين النقطتين يمكن اعتبارها نقطة تطبيق او تأثير القوة واذا كانت (B ) و ( (C هما بداية المستقيم ونهايته امكننا ان نرمز له بالرمز ( BC ) الذي يعين اتجاهه تعينناً تاماً من B الى C .

جبر المتجهات: Vector Algebra

1- تساوي المتجهات
يمكن القول ان المتجهين A وB متساويان اذا كان لهما نفس الطول والاتجاه ونكتب :-
A =B

اما اذا كان للمتجهين C , D نفس الطول ولكن اتجاهيهما متعاكسان
وعليه يكون المتجهان A,B متساويان اذا كان لهما نفس المقدار والاتجاه بصرف النظر عن نقطتين ابتدائهما وتبعاً لذلك يكون A =B

اضافة الى ما تقدم فأن المتجه الذي له نفس مقدار المتجه A ويعمل عكس اتجاهه يمكن تمثيله بالمتجه العكسي



او يمثل الفرق بين المتجهين A , B ويكتب وفق الصورة الاتية
A - B
او يكتب كالاتي A –B = A + (-B)
واذا كان A = B
فأن A - B
يعرف بأسم المتجه الصفري الذي يساوي مقداره صفراً .

جمع المتجهات
جمع المتجهات بالطريقة الجبرية :-
--------------------
لا تخضع المتجهات للعمليات الحسابية او الجبرية الاعتيادية بل لها عمليات جبرية خاصة تسمى بجبر المتجهات .
فكل متجهين متوازيين قد يكونان باتجاه واحد او بأتجاهين متعاكسين لذا يعدان موجبين او سالبين اذا كانا باتجاه واحد ويعد احدهما موجباً والاخر سالباً اذا كانا بأتجاهين متعاكسين ، فعند جمع المتجهات المتوازية فأنها تجمع جبرياً .
فأذا تحرك جسم بأتجاه الشرق قاطعاً ازاحة مقدارها (40كم ) خلال ¾ الساعة ثم استمر بنفس الاتجاه قاطعاً ازاحة مقدارها (10 كم خلال (1/4 الساعة ) وعليه يكون الجسم قد قطع ازاحة كلية مقدارها ز = ز1 + ز 2 أي الازاحة الاولى + الازاحة الثانية
اذن الازاحة الكلية = 40 +10 = 50 كم / بأتجاه الشرق .
اما معدل سرعته ( س) وهي كمية اتجاهية


يتضح مما تقدم بأن الانطلاق (speed ) لم يحدد بأتجاه بل بقيمة عددية فقط لانه مقدار عددي .
اما اذا كانت الازاحة (ز1) نحو الشرق واعتبرناها موجبة (+) فالازاحة الثانية (ز2) نحو الغرب سالبة (-) وعليه تكون الازاحتان متوازيتان وباتجاهين متعاكسين فتكون الازاحة الكلية = ز = 40 كم -10 كم = 30 كم /شرقاً

س = 30 كم / ساعة /شرقاً
اما معدل الانطلاق فيبقى كما هو لايتغير لانه مقدار عددي

ويساوي الانطلاق speed (س) =
50 كم /ساعة
مثال :-
قطع جسم ازاحة مقدارها 4كم/شرقاً خلال (3دقائق) ثم غير اتجاهه وقطع ازاحة مقدارها 3كم/شمالاً خلال دقيقتين فما مقدار متوسط الانطلاق للجسم وماهو مقدار ازاحته عن نقطة بدء حركته ، وما هو متوسط السرعة لذلك الجسم :-
الحل :-
لايجاد المسافة الكلية للحركة تجمع المسافة الاولى + المسافة الثانية
المسافة الكلية = 4 كم + 3 كم = 7 كم
اما زمن الحركة فيساوي = 3 دق + 2 دق = 5 دقائق
متوسط الانطلاق speed = = = = 1.4 كم /دقيقة

ولتمثيل حركة الجسم بالرسم نفرض ان كل (1كم) ازاحة يمثلها (1سم) في الشكل (18) فينتج ان المتجه (اب)سيمثل الازاحة الكلية ويمكن حساب مقدارها حسب نظرية فيثاغورس
ش


(أجـ)2 = (أب)2 + (ب جـ)2
= (4)2 + (3 ) 2 = 16 + 9
= 25

أجـ = 25
أجـ= 5كم الازاحة الكلية وهي بأتجاه المتجه (أجـ) ونستطيع ايجاد مقدار (أجـ) بالقياس بالمسطرة وحسب قياس المسطرة نجد ان ( أجـ = 5سم ) ولما كان كل (1سم) بالرسم يمثل
(1كم ازاحة )
اذن الازاحة الكلية = 5 كم

اما متوسط السرعة= = = 1 كم / دقيقة وباتجته المتجه (أجـ)

ولتعيين اتجاه الازاحة (أجـ) وتعيين الزاوية ( ب أ جـ) بالمنقلة منجدها (37 ْ ) درجة فاتجاه متوسط السرعة (37 ْ ) شمال الشرق .

جمع المتجهات بالطريقة البيانية ( الرسم :- Polygon method
ان حاصل جمع او محصلة متجهين A,B يمكن تمثيله بالمتجه C الناشىء من نقطة ابتداء على نقطة انتهاء A وتوصيل نقطة ابتداء B بنقطة انتهاء A وعلية يكتب كالاتي
C= B+A
ويسمى مجموع متجهين او اكثر بالمحصلة ( R ) ( resultant )

وتتم عملية الجمع عن طريق توصيل راس المتجه الاول بذيل الثاني مع الاختر بنظر الاعتبار القيمة والاتجاه وكنتيجة لوصل او ربط متجهين او اكثر يظر متجه جديد يصرف بالمحصلة
( R ) وقيمة المحصلة هو عبارة عن المسافة بين اخر راس واول ذيل مع ملاحظة ان اتجاه راس سهم متجه المحصلة يكون في اتجاه اخر راس ثم وضعها
وتعتبر عملية جمع المتجهات عملية تبديليه أي ان :-
A+B= B+ A
ومن البديهي انه ليس هناك اهمية للترتيب الذي نبدأ به عملية الجمع لعدة متجهات طالما انها عملية تبديلية كما اوضحنا ولذلك يمكن البدء بجمع A,B اولا ثم C واخيرا D او جمع CوD ثم نجمع B واخيرا A ويمكن للقارى ان يتاكد من ان النتيجة لن تتغير ، فمثلا عندما يتحرك جسم مسافة 60 كم شرقا ثم 80 كم شمالا فان الازاحة الكلية لهذا الجسم لن تتغير اذا كان قد تحرك هذا الجسم نحو الشمال اولا مسافة 80 كم ثم نحو الشرق مسافة 60 كم وسيصل الى نفس الموضع تماما .
مثال : يتحرك جسم مسافة 30 كم باتجاه الشرق ثم 40 كم باتجاه الشمال ما هي الإزاحة الكلية لهذا الجسم قيمة واتجاها ؟

الحل : نوضح حركة الجسم بيانيا في الشكل ( 21 ) فنمثل الإزاحة الأولى بمتجه A نحو الشرق يتناسب طوله مع 30 كم معتبرين كل ا سم تمثل 10 كم مثلا فيكون طول A مساويا
( 3 سم ) بينما تمثل الازاحة الثانية بمتجه B نحو الشمال ويتناسب طوله مع 40 كم أي يساوي ( 4 ) سم ونضع بداية B عند نهاية A ثم نصل بين بداية A ونهاية B فنحصل على المتجه C المساوي الى حاصل جمع A+B ونلاحظ من الشكل ان طول الوتر ac ) في المثلث القائم الزاويه (abc ) يساوي

Ac = ab+bc =5سم
فطول C يساوي 5 سم وهذا يعادل مسافة مقدارها 50 كم واما اتجاهه فيمكن الحصول علية عن طريق استخدام قانون ظل الزوايه للمثلث القائم الزواية (abc )
* ظل الزواية (a ) 1.33= 4 = bc
ac 3
* مقدار الزاوية 58 تقريبا لان ظل الزاوية 58 = 1033

جمع المتجهات بالطريقة التحليلية ( المركبات ) Omponents
هناك وسيلة اخرى نعتبر اكثر دقه وكفاءة والتي تعتمد على العلاقات المثلثية في ربط وصل المتجهات بمعنى ان أي متجه يمكن ان يحل بمعلومية النسب المثلثية للمثلث القائم الزاوية وبما ان مجموع متجهتين هو قيمة ثالث ، لذلك يمكن تحليل أي قيمة الى متجهتين هما Cx ,Cy ونكتب كالاتي :
C=CX+Cy
واذا اخترنا اتجاهي Cy ,Cx ليكونا متعامدين

عندئذ نكتب كالأتي :-
Cx المركبة الافقية = Ccoso
أي المركبة الافقية = جتا O× المحصلة ( الوتر )

جتا O = المجاور = Cx = CosO
الوتر C

Cyالمركبة العمورية = CsinO
أي المركبة العمورية = جاO × المحصلة ( الوتر )
حا O = المقابل Cy = SinO
الوتر C
ويطلق على Cx اسم المركبة السنية ( X-component )
وعلى Cy اسم المركبة الصادرية ( Y-component )
ويتضح مماتقدم ان المركبة الافقية ( Cx )
تساوي حاصل ضرب المحصلة في جيب تمام زاوية ميلها على المحور الافقي
جيب زاوية ميلها على المحور العمودي .
ويمكن تحليل أي متجه مثل ( C ) الذي يصنع زاوية مع الاحداث السيني الى مركبتين متمامدتين احدهما باتجاهما باتجاه محور
السينات ومقدارها = Cx= C cos O
والاخرى باتجاه محور الصادات ومقدارها = Cy= Csin O
وتسمى هذه المحاور منظومة محاور
Ortho gonal coor dinate system
ولغرض الحصول على طول قيمة ( C ) واتجاهه من مركبتيه نتبع الاتي :-

C = Cx2 + Cy2


أي اعتمادا على نظرية فيثاغورس :
اما الاتجاه فيمكن الحصول علية من القانون الاتي :-

أي ظل تالزاوية = المقابل tanO = Cy
المجاور

مثال :-
فلو فرضنا ان لاعب الوثب الطويل يترك لوحة بالنهوض بسرعة محصله مقدارها 9م / ثا وبزاوية انطلاق مقدارها 18 مع الخط الافقي فانه يمكن رسم المثلث القائم الزاويه حيث تمثل السرعه المحصله (r ) وتر هذا المثلث وتمثل كل من المركبتين الافقية والعمودية الضلعين الافقي والعمودي للزاوية القائمة


قانون متوازي الأضلاع :
اذا اثرت في النقطة A من جسم ما قوتان مختلفتان بمتجهتين AC AB اللذين يضعان بينهما زاوية مقدارها ( a ) فان فعلهما يكافىء فعل قوة ممثلة بالمتجهه AD الذي هو قطر متوازي الاضلاع المنشأ على المتجهين AC AB و تسمى القوة AD هنا بمحصلة القوتين AD و AC و تسمى القوتان AC و AB بمكربتي القوة AD و بذلك تكون المحصلة مكافئة لمركبتيها و بالعكس

وعليه ومن خلال ماتقدم يمكن الحصول على مقدار محصلة قوتين مطبيقتين في النقطه من جسم ما وعلى اتجاهها لمجموع هندسي لهاتين القونيين حيث يمكن الحصول على هذه المحصله برسم المثلث AcD كما في الشكل بدلاً من رسم متوازي الاضلاع القوى وذلك بان نرسم من نهاية المتجه AC المتجه CD الذي يساوي المستقيم او المتجه AB ويوازيه فيكون AD الضلع الثالث للمثلث مساويا لمحصله المتجهين التي هي موجهة عن A بداية المتجه الاول نحو D نهاية المتجه الثاني ويسمى المتجه AD الذي حصلنا عليه بهذه الطريقه المجموع الهندسي للمتجهين CD,AC و اضافة الى الطريقه التحليليه والبيانيه في تحليل روبط المتجهات وحجمها يمكن ايجاد المحصله من خلال طريقة متوزاي الاضلاع حيث يتأثر جسم الانسان في بعض الحالات باكثر من سرعه ولكن خط عملها ليس على خط عمل واحد ففي هذه الحاله تكون السرعه بزاويه فاذا كانت الزاويه قائمه فيتم استخراج المحصله عن طريق تطبيق نظرية فيتاغورس وكما تمت الاشاره اليها ولغرض الايضاح يمكن ملاحظة المثال الاتي :_
قارب يحاول عبور نهر بسرعة 8 م / ثا وكان اتجاه تيار الماء افقيا بسرعة 6 م / ثا احسب مقدار سرعة القارب النهائيه وما هو مقدارها الزوايا التي يشكاها خط سيره مع الخط الافقي 8م/ثا
اتجاه القارب

اتجاه تيار الماء جـ 6 م / ثا أ

حيث يمكن تطبيق نظرية فيتاغورس وكالاتي :-
( أ د ) = ( أ ب ) + ( أ جـ )
م2 = ( 8 ) 2 + ( 6 ) 2
م 2 = 64 + 36
م2 = 100
م = 10م /ثا سرعة القارب النهائيه
ظا حأد = دح = 8 = 1033
* مقدار الزاويه = 53 تقريبا لان ظل الزوايه 53 = 103370
أضافة الى ماتقدم نجد ان المحصله تتاثر بمقدار الزوايه الكائنه بين القونيين فكلما كانت الزاوية صغيرة كان مقدار المحصله كبيرا واذا استمرت الزوايه بين القونيين في الصفر حتى تبلغ الصفر عندئذ تكون المحصله باكبر قيمها وتساوي المحجموع الجبري لهاتين القونين اما اذا كانت الزاويه بين القونين في زيادة الى ان تصبح اكبر من قائمة ( 90 ) عندئذ تبدأ قيمة المحصله بالنقصانه الى ان تبلغ الزوايه بين القونين ( 180 ) فأن قيمة المحصله تكون ناصفر قيمتها وتساوي الفرق بين هاتين القونين وكما هو موضح في الشكل ( 27 )

الزاوية بينهما = ( 180 ) درجه الزاويه بينهما = ( صفر
م = ق1 ــ ق 2 م = ق1 + ق2

اضافه الى ماتقدم فانه اذا كانت الزاويه اكبر او اصغر من ( 90 ) او بمعنى حاده او منفرجه فان المحصله يمكن استخراجها برسم متوزاي الاضلاع وذلك من خلال تعيين محصلة متجهين هما A و B اللذين يصفان بينهما زاويه مقدارها ( a )
كما في الشل ( 28 ) ويرسم المتجهان A و B من نقطه واحده مثل ( d ) ويرسم متوزاي الاضلاع الذي ضلعاه المتجاورات هما المتجهان A و B ، وقطر متوازي الاضلاع C المار بنقطة تلاقي المتجهين ويمثل محصلة هذين المتجهين ونجد مقداره من خلال العلاقه الاتية
C=A2 +B2 +2AB x COS0

ومن خلال ماتم عرضه فانه كلما كانت الزاويه بين السرعتين صغيرة كانت المحصله اكبر والعكس بالعكس فمن خلال القانون الاتي يمكننا حساب السرعه المحصله بناء على مقدار الزاويه المحصوره بينهما كما في الشكل ( 29)

اما الاتجاه فيمكن حسابه من خلال القانون الاتي

ظا = 13 × حا
A + B × جتا O

مثال :- احسب مقدار سرعة انطلاق جسم بلغت سرعته العموديه 6 م /ثا وسرعنه الافقيه 2 م /ثا وكانت الزاويه بين هاتين السرعتين كالاتي :-

أ -30 ب – 60 ج -75 د 89


( م )2 = ( س1 ) 2 + ( س2 ) 2 + 2س1 × س2 × جتا 30
= ( 6 ) 2 + ( 2 ) 2 = 2× 6 × 2 × جتا 30
= 36 + 4 + 24 × 0.8
م = 7.694 م / ثا

اما ظا = 6 × حا 30 = 3 = 041
2 + 6 × جتاO 7.16

* اتجاه المحصله هو 3 في عندما تكون الزاويه بين السرعتين هو 30
اما اذا اصبحت الزاويه 60 فان المحصله تساوي

(م 92 = ( 6 )2 + ( 2 ) 2 + 2 × 6 × 2 × جتا 60
= 36 + 4 + 24 × 050
= 40 = 12

= 52
م = 7021 م /ثا
اما ظا = 6× حا 60
2+ 6 × 050
= 5.16
5
= 1.032
= 46
* اتجاه المحصله هو 46 عندما تكون الزاويه بين السرعتين 60


اما اذا كبرت الزاويه الى 75 فان قيمة المحصله تكون

م 2 = ( 6 )2 + ( 2 ) 2 + 2 × 6 × 2 × جتا 75
= 36 + 4 + 24 × 0.25
= 40 +6
م = 46

م = 6.78 م /ثا

اما ظا الزاويه = 6 × حا 75
2 + 6 × جتا 75
= 6× 0.94 = 5.76
2 + 6 × 0.25 3.50

ظا = 1.64
= 58
* اتجاه المحصله هو 58 عندما تكون الزاويه بين السرعتين 75

اما اذا بلغت الزاويه في الكبر واصبحت 89 فان قيمة المحصله تكون كالاتي :-

م = (6) 2 + ( 2 ) 2 + 2 × 6 × 2 × جتا 89
= 36 + 4 + 24 × 0.0175
= 40 + 0.42

= 40.42
م = 6.35 م /ثا

اما ظا الزاويه = 6 × حا 89
2 + 6 × جتا 89

= 5.94
2.10

ظا = 2.82
= 71
* 71 هو اتجاه المحصله عندما تكون الزاويه بين السرعتين 89